التعريف
العدد العقدي هو الذي يتكون من مجموع عددين، أحدهما عدد حقيقي والآخر عدد تخيلي، ويكون مربع العدد التخيلي عدد سالب.
[عدل] تمثيل الأعداد المركبة
إذا فرضنا أن z هو عدد مركب، و a و b هما عددان حقيقيان، و i هو عدد تخيلي، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي:
[عدل] التمثيل الجبري
يكتب العدد المركب z جبريًا بالشكل:
\,z=a+bi
[عدل] التمثيل الهندسي
يكتب العدد على شكل
cos\theta+ i\sin\theta\,
[عدل] التمثيل الأسي
يكتب العدد على شكل
\,|z|.e^{i\theta}
حيث
|z| = \sqrt{a^2+b^2}
\theta = \,tan^{-1}(b/a)
[عدل] فهم الأعداد العقدية
عندما وجد الرياضيون أن المعادلة (x² = -1) مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية كان لا بد من وضع حل لها. وبما أن الرياضيات هي -وكما يقول أحد الرياضيين- العلم الذي لا نعرف فيه إن كان ما نقوله صحيح أم لا، لذلك تمّ إيجاد عدد جديد هو العدد (تاء - ت) بالعربية وباللاتينية العدد (i). وتعريف العدد i هو الجذر التربيعي للعدد -1، وهنا يكمن التعقيد. فمن المعلوم أنه ليس للعدد -1 جذر، ولكن هذا في الأعداد الحقيقية. فكما أنه لا وجود للعدد -5 في الأعداد الطبيعية ولكنه موجود في الأعداد الصحيحة (والحال نفسه بالنسبة للعدد i) فالرياضيات هي علم وضعه البشر ولهم الحق في تطويره وتجديده وفق قواعد واضحة تخضع للمنطق الرياضي ولا تنافي المبادئ الرياضية والموضوعات والبديهيات في علم الرياضيات.
[عدل] الحساب في مجموعة الأعداد العقدية
نفس العمليات والقواعد الحسابية في \mathbb R يمكن تطبيقها على الأعداد العقدية. باستعمال تجميعية الجمع وتوزيعية الضرب نحصل على ما يلي:
[عدل] الجمع
تتم عملية الجمع كما يلي:
(a + bi)+(a' + b'i) = (a+a')+(b+b')i \,
[عدل] الضرب
تتم عملية الضرب كما يلي:
(a + bi) (a' + b'i) = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i \,
[عدل] القسمة
تتم عملية القسمة كما يلي:
\frac{a + bi}{a' + b'i} = \frac{(aa'+bb')+i(a'b-ab')}{a'^2+b'^2}\,
[عدل] مرافق عدد عقدي
التمثيل الهندسي للعدد المركب\,z ومرافقه \bar{z} في المستوى المركب.
[عدل] تعريف
مرافق العدد العقدي a + bi\, هو العدد العقدي a - bi\,.
مرافق العدد العقدي z نرمز له ب:\bar{z}
[عدل] الأعداد المترافقة والعمليات
1. مرافق مجموع عددين عقديين هو مجموع مرافق كل من حدي المجموع
2. مرافق جداء عددين عقديين هو جداء مرافق كل من حدي الجداء
[عدل] معيار عدد عقدي
جدر مربع جداء عدد عقدي في مرافقه يسمى معيار العدد العقدي
[عدل] التمثيل الهندسي للأعداد العقدية
[عدل] لحق نقطة
تمثيل هندسي لعدد عقدي
المستوى \mathcal{P} منسوب لمعلم متعامد، متجانس (O; \vec{u}, \vec{v})، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي z \, جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالنقطة M التي زوج احداثياتها (a, b) \, من \mathcal{P}، هو تطبيق تقابلي والعدد العقدي a + bi\, يسمى 'لحق' النقطة M ويرمز له بالرمز \mathrm{Aff}(M)\,
[عدل] لحق متجهة
المستوى المتجهي \mathcal{V} منسوب لمعلم متعامد ممنظم، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالمتجهة \vec u من \mathcal{V} التي أفصولها a وأرتوبها b، هو تطبيق تقابلي والعدد العقدي a + bi\, يسمى 'لحق' المتجهة \vec u.[b]
موضوع: الأعداد العقدية 
الثلاثاء سبتمبر 28, 2010 7:02 am
